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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen VII
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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1. Ergebnisse
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  c) 04c_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  c) 05c_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnisse
  a) 06a_e
  b) 06b_e
  c) 06c_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnisse
  a) 07a_e
  b) 07b_e
  c) 07c_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnisse
  a) 08a_e
  b) 08b_e
  Ausführliche Lösungen

9. Ergebnis
  09_e
  Ausführliche Lösung

10. Ergebnis
  10_e hat immer drei Lösungen.
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnis
  11_e
  Ausführliche Lösung

1a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
01a
  Ausführliche Lösung
  01a_l
  Aus der Polynomgleichung kann x3 ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden, der da lautet: "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist." Die Lösung der Gleichung findet man also dadurch, dass man jeden Faktor für sich gleich Null setzt. Der erste Faktor ergibt die dreifache Lösung 0. Der zweite Faktor ist eine lineare Gleichung, die durch Äquivalenzumformung zu lösen ist. In der Lösungsmenge erscheint die dreifache 0 nur einmal, da in der Mengendarstellung per Definition jedes Element nur einmal vorkommen darf.

1b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
01b
  Ausführliche Lösung
  01b_l

1c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
01c
  Ausführliche Lösung
  01c_l
  Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar. Die Substitutionsvariable z lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen. Anschließend muss zurücksubstituiert und die Wurzel gezogen werden. Die Wurzel lässt sich nur für positive z-Werte lösen. Da in diesem Fall die Diskriminante < 0 ist, gibt es für z keine Lösung und damit auch keine für x.

2a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
02a
  Ausführliche Lösung
  02a_l
  Um eine Lösung der Polynomgleichung durch raten oder probieren zu finden, kann man entweder den Taschenrechner benutzen oder das Horner-Schema verwenden. Hat man eine Lösung für x z. B. mit dem Taschenrechner gefunden, so muss man auf jeden Fall die Polynomdivision durchführen um das Restpolynom zu finden. Hat man hingegen mit dem Horner-Schema einen Lösungswert für x gefunden, so lässt sich aus den Koeffizienten das Restpolynom bilden. Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = 1. Da die Diskriminante der quadratischen Gleichung kleiner Null ist, hat diese keine Lösung. Zu den bisher bekannten Lösungen kommt keine mehr hinzu.

2b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
02b
  Ausführliche Lösung
  02b_l
  Die Polynomgleichung stellt eine biquadratische Gleichung dar. Die Substitutionsvariable z lässt sich mithilfe der p-q-Formel berechnen. Anschließend muss zurücksubstituiert und die Wurzel gezogen werden. Die Wurzel lässt sich nur für positive z-Werte lösen. Da z2 negativ ist, trägt nur die Wurzel aus z1 zur Lösung bei.

2c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
02c
  Ausführliche Lösung
  02c_l

3a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
03a
  Ausführliche Lösung
  03a_l

3b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
03b
  Ausführliche Lösung
  03b_l
  Da die Diskriminante D = 0 ist, gibt es für die quadratische Gleichung nur eine (doppelte) Lösung.

3c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
03c
  Ausführliche Lösung
  03c_l
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = -1. Da die Diskriminante D = 0 ist, gibt es für die quadratische Gleichung nur eine (doppelte) Lösung.

4a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
04a
  Ausführliche Lösung
  04a_l
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = -2. Da die Diskriminante D > 0 ist, gibt es für die quadratische Gleichung zwei Lösungen. Mit den vorigen sind es dann 4 Lösungen. Raten führt oft zum Ziel, wenn man einen Teiler vom Absolutglied (hier = -2) nimmt.

4b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
04b
  Ausführliche Lösung
  04b_l

4c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
04c
  Ausführliche Lösung
  04c_l

5a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
05a
  Ausführliche Lösung
  05a_l
  Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = 2 und x = -2. Da die Diskriminante D = 0 ist, gibt es für die quadratische Gleichung nur eine doppelte Lösung x = -2. Diese Lösung war bereits schon vorhanden, so dass durch die Lösung der quadratischen Gleichung keine mehr dazu kommt.

5b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
05b
  Ausführliche Lösung
  05b_l

5c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
05c
  Ausführliche Lösung
  05c_l

6a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
06a
  Ausführliche Lösung
  06a_l

6b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
06b
  Ausführliche Lösung
  06b_l

6c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
06c
  Ausführliche Lösung
  06c_l

7a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
07a
  Ausführliche Lösung
  07a_l

7b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
07b
  Ausführliche Lösung
  07b_l
  Da per Definition k negativ sein soll, ist -k immer positiv, so dass die Wurzel gezogen werden kann.

7c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
07c
  Ausführliche Lösung
  07c_l

8a Bestimmen Sie die Lösungen in Abhängigkeit von k.
08a
  Ausführliche Lösung
  08a_l
  Falls k positiv ist, gibt es 4 Lösungen. Für k = 0 gibt es drei Lösungen da die Wurzel 0 ist. Für negative Werte von k gibt es zwei Lösungen da die Wurzel nicht lösbar ist.

8b Bestimmen Sie die Lösungen in Abhängigkeit von k.
08b
  Ausführliche Lösung
  08b_l
  Die Lösungen sind von der Formvariablen k abhängig. Die Diskriminante D gibt Auskunft über die speziellen Werte von k für die es entweder eine, zwei oder drei Lösungen gibt.

9 Gegeben ist die Gleichung:
09
x = 2k ist eine Lösung. Berechnen Sie weitere Lösungen.
  Ausführliche Lösung
  09_l
  Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Mit dem Horner-Schema und der bekannten Lösung x = 2k wird das Restpolynom bestimmt und daraus die weiteren Lösungen.

10 Welche Anzahl an Lösungen sind möglich?
10
  Ausführliche Lösung
  10_1_l
Die Wurzel aus z2 ist nur dann lösbar, wenn z2 größer oder gleich Null ist.
10_2_l
  Die Polynomgleichung hat immer drei Lösungen. x1 =0 und x2/3 = Wurzel aus z1 existieren für alle Werte von k. Zu untersuchen ist, ob x4/5 = Wurzel aus z2 existiert. Falls z2 = 0 ist, gilt x4/5 = x1 = 0, also keine neue Lösung. Für den Fall z2 größer Null gäbe es weitere Lösungen. Die Rechnung zeigt, dass z2 nicht größer als Null sein kann. Deshalb gibt es außer den drei vorhandenen, keine weitere Lösung.

11 Die Gleichung
11
3 ganzzahlige Lösungen. Bestimmen Sie alle Lösungen.
  Ausführliche Lösung
  11_l