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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen V
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10

1. Ergebnis
  01_e
Für einen Gewinn von 1500 € müssen 14 bzw. 24 Stück verkauft werden.
  Ausführliche Lösung

2. Ergebnisse
  a) Im Jahr 2006 betrug die installierte Leistung 21 Gigawatt.
  b) Im Jahr 2013 betrug die installierte Leistung etwa 33 Gigawatt.
  c) Im Jahr 2016 kann man mit einer Leistung von 46 GW rechnen.
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  c) 04c_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnis
  05_e falls k > 0.
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnis
  06_e falls k > 1.
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnisse
  a) 07a_e
  b) 07b_e
  c) 07c_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnis
  Die durchschnittliche jährliche Inflationsrate beträgt etwa 2,52%.
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnisse
  a) 09a_e
  b) 09b_e
  c) 09c_e
  Ausführliche Lösungen

10. Ergebnisse
  a) 10a_e
  b) 10b_e
  c) 10c_e
  Ausführliche Lösungen

1 01
stellt die Gesamtkosten für die Herstellung der Menge x eines Produktes dar. Welche Menge muss produziert und zu einem Stückpreis von 2000 € verkauft werden, damit ein Gewinn von 1500 € erzielt wird.
  Ausführliche Lösung
  K(x) heißt Kostenfunktion und gibt an, welche Kosten bei der Produktion der Menge x eines Produktes entstehen.
E(x) heißt Erlösfunktion und gibt an, wie groß der Erlös ist, wenn die Menge x verkauft wird.
G(x) = E(x) - K(x) heißt Gewinnfunktion und gibt an, wie hoch der Gewinn ist, wenn die Menge x verkauft wird.
Lösungsansatz: G(x) = 1500
  01_1_l
Die Polynomgleichung lässt sich lösen, wenn eine Lösung bekannt ist. Um die erste Lösung zu finden, wird versucht ob ein Teiler vom Absolutglied, also von 2352 die Polynomgleichung erfüllt. Dazu werden zunächst die Teiler bestimmt und in das Horner-Schema eingesetzt.
01_2_l
Wie das Horner-Schema zeigt, ist x = -7 eine Lösung der Polynomgleichung. Das Restpolynom ist eine quadratische Gleichung, die mit der p-q-Formel gelöst werden kann und damit weitere Lösungen liefert.
01_3_l
Für einen Gewinn von 1500 € mussen x = 14 bzw. x = 24 Stück verkauft werden. Die Lösung x = -7 hat für die Lösung keine Relevanz, da negativ. Negative Stückzahlen machen keinen Sinn.

2a Die Entwicklung der installierten Leistung von Windkraftanlagen in Deutschland seit 2006 lässt sich näherungsweise mit der Funktion
02
beschreiben.
Die Variable x steht für Jahre, P(x) für Gigawatt (GW).
Installierte Leistung an Windenergie in Deutschland lt. BWE Bundesverband Windenergie
02_1
Welche Leistung war 2006 installiert?
  Ausführliche Lösung
  Da das Jahr 2006 fur die Funktion als Startjahr gilt, bedeutet das für den x-Wertx = 0.
Setzt man diesen Wert in die Funktionsgleichung ein, dann gilt:
P(0) = 21. Das bedutet, im Jahr 2006 betrug die installierte Leistung etwa 21 Gigawatt.

2b Welche Leistung war 2013 installiert?
  Ausführliche Lösung
  Für 2013 muss die Differenz der Jahre zwischen 2006 und 20013 eingesetzt werden. Die Differenz beträgt x = 7.
02b_l
Im Jahr 2013 betrug die installierte Leistung etwa 33,688 GW. Der Wert lässt sich leicht mit dem Taschenrechner bestimmen.

2c In welchem Jahr kann unter gleichen Voraussetzungen mit einer installierten Leistung von 46 GW gerechnet werden?
  Ausführliche Lösung
  Ansatz:
02c_1_l
Um eine Lösung durch raten oder probieren zu finden, kann man entweder den Taschenrechner benutzen oder das Horner-Schema verwenden. Hat man eine Lösung für x z. B. mit dem Taschenrechner gefunden, so muss man auf jeden Fall die Polynomdivision durchführen um das Restpolynom zu finden. Hat man hingegen mit dem Horner-Schema einen Lösungswert für x gefunden, so lässt sich aus den Koeffizienten das Restpolynom bilden. Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision.
Durch raten erhält man die Lösung x = 10.
02c_2_l
Da x = 10 eine Lösung der im Ansatz aufgestellten Polynomgleichung ist, beträgt die installierte Leistung im Jahre 2006 + 10 = 2016 etwa 46 GW.
Bemerkung:
Diese Rechnung ist lediglich eine Trendrechnung unter der Voraussetzung, das die Bedingungen sich für weitere Installationen nicht ändern. Politik und Wirtschaft können sowohl positiv, wie auch negativ diesen Trend beeinflussen.

3a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
03a
  Ausführliche Lösung
  03a_l

3b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
03b
  Ausführliche Lösung
  03b_l

3c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
03c
  Ausführliche Lösung
  03c_l

4a Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
04a
  Ausführliche Lösung
  04a_l

4b Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
04b
  Ausführliche Lösung
  04b_l

4c Berechnen Sie die Lösung folgender Gleichung.
04c
  Ausführliche Lösung
  04c_l

5 Für welche Werte von k gibt es eine Lösung?
05
  Ausführliche Lösung
  05_l
Wenn es eine Lösung geben soll, muss k > 0 sein, da die 4. Wurzel nur für positive Zahlen definiert ist.

6 Für welche Werte von k lässt sich die Gleichung lösen?
06
  Ausführliche Lösung
  06_l
Da der Nenner des Bruches ungleich 0 und der Wert, der unter der 4. Wurzel steht positiv sein muss, gilt k > 1.

7a Dagobert erbt 10000 €. Er möchte das Kapital in 8 Jahren verdoppeln.
Wie hoch müsste die jährliche Verzinsung sein?
  Ausführliche Lösung
  Die Zinseszinsformel:
07_1
K0 : Anfangskapital
Kn : Guthaben nach n Jahren
p : Zinssatz in %
q = 1 + p/100 (Zinsfaktor)
  07a_l
Die jährliche Verzinsung müsste etwa 9,09% betragen.

7b Welches Guthaben hätte er nach 15 Jahren?
  Ausführliche Lösung
  07b_l
  Nach 15 Jahren wäre das Kapital auf 36680,16 € angewachsen.
Eine Rechnung mit dem Näherungswert von p = 9,05% ergäbe 36878,57 €. Um den zu berechnenden Wert möglicht genau zu bekommen, setzt man für p den algebraischen Ausdruck ein und vereinfacht die Gleichung bevor man mit dem Taschenrechner das Ergebnis berechnet.

7c Wegen einer Finanzkriese vermehrt sich das Kapital in 8 Jahren nur auf 15000 €. Wie hoch war der mittlere Jahreszins?
  Ausführliche Lösung
  07c_l
Der mittlere Jahreszins betrug etwa 5,2%.

8 Wie hoch ist die durchschnittliche jährliche Inflationsrate, wenn das Geld innerhalb von 5 Jahren 12% an Kaufkraft verliert?
  Ausführliche Lösung
  Bei einer exponentiellen Abnahme gilt:
08_l
Die durchschnittliche jährliche Inflationsrate beträgt etwa 2,52%.

9a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
09a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x3 ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden, der da lautet: "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist". Die Lösung der Gleichung findet man also dadurch, dass man jeden Faktor für sich gleich Null setzt.
  09a_l

9b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
09b
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x2 ausgeklammert werden.
09b_l

9c Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
09c
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x2 ausgeklammert werden.
09c_l

10a Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
10a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x ausgeklammert werden.
10a_l

10b Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
10b
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x3 ausgeklammert werden.
10b_l

10c Lösen Sie die Gleichung nach x auf.
10c
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x2 ausgeklammert werden.
10c_l