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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen IV
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13

1. Ergebnisse
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnisse
  a) 06a_e
  b) 06b_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnis:
  07_e
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  08_e
Für k = 3 gibt es nur eine Lösung.
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnis:
  09_e
Für a < 0 gibt es eine Lösung.
Für a = 0 gibt es zwei Lösungen.
Für a > 0 außer a = 1 gibt es drei Lösungen.
  Ausführliche Lösung

10. Ergebnis:
  10_e
Für a < 0 gibt es eine Lösung.
Für a = 0 gibt es eine Lösung.
Für a > 0 gibt es drei Lösungen.
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnis:
  11_e
Sonderfall für a = -2: x1 = 0 ; x2 = 0 und x3 = 2
  Ausführliche Lösung

12. Ergebnis:
  12_e
  Ausführliche Lösung

13. Ergebnis:
  13_e
  Ausführliche Lösung

1a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
01a
  Ausführliche Lösung
  Um eine Lösung der Polynomgleichung durch raten oder probieren zu finden, kann man entweder den Taschenrechner benutzen oder das Horner-Schema verwenden. Hat man eine Lösung für x z. B. mit dem Taschenrechner gefunden, so muss man auf jeden Fall die Polynomdivision durchführen um das Restpolynom zu finden. Hat man hingegen mit dem Horner-Schema einen Lösungswert für x gefunden, so lässt sich aus den Koeffizienten das Restpolynom bilden. Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Durch raten und probieren erhält man die Lösung x = -2.
  01a_l
Da die Diskriminante der quadratischen Gleichung Null ist, hat diese nur eine (doppelte) Lösung und zwar ebenfalls x = -2, wie man bereits geraten hat. In der Lösungsmenge wird auch nur die -2 als Lösung angegeben. Insgesamt handelt es sich um eine dreifache Lösung.

1b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
01b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = -1.
  01b_l

2a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
02a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = 1.
  02a_l

2b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
02b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = 3.
  02b_l
Die erste Zeile im Horner-Schema muss n + 1 Koeffizienten der Polynomgleichung enthalten, wenn der Polynomgrad n ist. Im obigen Beispiel fehlt in der Polynomgleichung der Summand mit dem Exponenten 1 also das x. Im Horner-Schema muss diese Stelle mit 0 aufgefüllt werden. Das Restpolynom hat keine Lösung, da die Diskriminante D < 0 ist.

3a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
03a
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = 3.
  03a_l

3b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
03b
  Ausführliche Lösung
  Durch raten erhält man die Lösung x = -1.
  03b_l

4a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
04a
  Ausführliche Lösung
  04a_l
Da die zweite Klammer in Form eines Quadrates auftritt, ist -k eine doppelte Lösung.

4b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
04b
  Ausführliche Lösung
  04b_l
Die Formvariable k hat keinen Einfluss auf die Lösung.

5a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
05a
  Ausführliche Lösung
  Aus der Polynomgleichung kann x ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden, der da lautet: "Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist." Die Lösung der Gleichung findet man also dadurch, dass man jeden Faktor für sich gleich Null setzt.
  05a_l

5b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
05b
  Ausführliche Lösung
  05b_l

6a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
06a
  Ausführliche Lösung
  06a_l

6b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
06b
  Ausführliche Lösung
  06b_l

7 Bestimmen Sie die Lösungen für:
07
  Ausführliche Lösung
  07_l

8 Lösen Sie die Gleichung nach x auf. Für welche Werte von k gibt es nur eine Lösung?
08
  Ausführliche Lösung
  08_l
Die Lösung x1 = 0 existiert unabhängig von k. Für alle anderen Werte von k gibt es zwei Lösungen, mit Ausnahme von k = 3.

9 Für welche Werte von a hat die Gleichung eine Lösung, genau zwei oder drei Lösungen?
09
  Ausführliche Lösung
  09_1_l
Für die Gesamtlösung bedeutet das:
Eine Lösung gibt es immer (erste Klammer = 0, x1 = -1).
Die quadratische Gleichung kann in Abhängigkeit von der Diskriminante eine, zwei oder keine Lösung haben.
Falls a < 0 ist, hat die Polynomgleichung nur eine Lösung L = { -1 }.
Falls a = 0 ist, hat die Polynomgleichung zwei Lösungen L = { -1 ; 0 }.
Falls a > 0 ist, hat die Polynomgleichung drei Lösungen.
Damit in diesem Fall auch wirklich 3 unterschiedliche Lösungen vorliegen, darf die Lösung x1 = -1 nur einmal vorkommen. Zu untersuchen ist also für welche Werte von a die zweite Klammer bei dem x-Wert -1 Null wird.
09_2_l

10 Untersuchen Sie die Lösungen in Abhängigkeit von a
10
  Ausführliche Lösung
  10_1_l
Falls a = 0 ist, gibt es nur eine Lösung L = {0}.
Nun werden die Lösungen der quadratischen Gleichung in Zusammenhang mit der Formvariablen a betrachtet.
10_2_l

11 Untersuchen Sie die Lösungen in Abhängigkeit von a
11
  Ausführliche Lösung
  11_1_l
Aus dem Term lässt sich x ausklammern, so dass nach dem Satz vom Nullprodukt die Lösungen zu bestimmen sind. Die Lösung x1 = 0 gilt unabhängig von a. Die Diskriminante der quadratischen Gleichung kann, wie die Rechnung zeigt nicht Null werden, damit auch nicht kleiner als Null. Das bedeutet, die quadratische Gleichung hat für jedes a genau zwei Lösungen. Es ist lediglich zu überprüfen ob für einen bestimmten Wert von a die Lösung der quadratischen Gleichung 0 ergibt. In diesem Fall hätte die Polynomgleichung insgesamt nur 2 Lösungen.
11_2_l
Spezialfall: Falls a = -2 ist, hat die Polynomgleichung genau 2 Lösungen.

12 Untersuchen Sie die Lösungen in Abhängigkeit von k
12
  Ausführliche Lösung
  12_l
Falls k einen der Wurzelwerte annimmt, verringert sich die Anzahl von Lösungen von drei auf zwei.

13 Die Lösung einer Gleichung 3. Grades sind 2/3, 3/4, und -2.
Geben Sie eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten an.
  Ausführliche Lösung
  13_l
Zuerst stellt man anhand der vorgegebenen Lösungen die Polynomgleichung als Produkt ihrer Linearfaktoren auf. Um eine Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten zu bekommen multipliziert man nun beide Seiten der Gleichung mit den Nennern der Brüche in den Linearfaktoren. Dabei darf immer nur ein Linearfaktor multipliziert werden. Sobald in den Linearfaktoren keine Brüche mehr auftreten, multipliziert man diese aus und erhält die gesuchte Polynomgleichung.