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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen II
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse:
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e
  b) 04b_e
  Ausführliche Lösungen

5. Ergebnisse:
  a) 05a_e
  b) 05b_e
  Ausführliche Lösungen

6. Ergebnisse:
  a) 06a_e
  b) 06b_e
  Ausführliche Lösungen

7. Ergebnis:
  07_e
  Ausführliche Lösung

8. Ergebnis:
  08_e
  Ausführliche Lösung

9. Ergebnis:
  09_e
  Ausführliche Lösung

10. Ergebnis:
  10_e
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnis:
  11_e
  Ausführliche Lösung

12. Ergebnis:
  12_e
  Ausführliche Lösung

1a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
01a
  Ausführliche Lösung
  Für diese Polynomgleichung soll durch raten eine Lösung gefunden werden. Dazu nimmt man einen Teiler vom Absolutglied (hier einen Teiler von 48). Die Zahl 1 kommt als Lösung nicht in Frage, denn 1 + 4 - 20 -48 = -63 Der Versuch mit x = -2 ergibt -8 +16 +40 - 48 = 0 führt zum Erfolg. Mit der Polynomdivision lässt sich der Grad der Polynomgleichung verringern.
  01a_l

1b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
01b
  Ausführliche Lösung
  Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = 2.
  01b_l

2a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
02a
  Ausführliche Lösung
  Um eine Lösung durch raten oder probieren zu finden, kann man entweder den Taschenrechner benutzen oder das Horner-Schema verwenden. Hat man eine Lösung für x z. B. mit dem Taschenrechner gefunden, so muss man auf jeden Fall die Polynomdivision durchführen um das Restpolynom zu finden. Hat man hingegen mit dem Horner-Schema einen Lösungswert für x gefunden, so lässt sich aus den Koeffizienten das Restpolynom bilden. Das Horner-Schema liefert also im Schnellverfahren als Abfallprodukt eine Polynomdivision. Nachfolgend soll die erste Lösung mit dem Horner-Schema gefunden werden.
  02a_l
Die erste Zeile im Horner-Schema muss n + 1 Koeffizienten der Polynomgleichung enthalten, wenn der Polynomgrad n ist. Im obigen Beispiel fehlt in der Polynomgleichung der Summand mit dem Exponenten 1 also das x. Im Horner-Schema muss diese Stelle mit 0 aufgefüllt werden. Das Restpolynom hat keine Lösung, da die Diskriminante D < 0 ist.

2b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
02b
  Ausführliche Lösung
  Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = -1.
  02b_l

3a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
03a
  Ausführliche Lösung
  Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = 2.
  03a_l

3b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
03b
  Ausführliche Lösung
  Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch raten erhält man die Lösung x = 1.
  03b_l

4a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
04a
  Ausführliche Lösung
  Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch einsetzen in das Horner-Schema erhält man die Lösung x = 1/2.
  04a_l
Die Lösung x = 1/2 kommt zweimal vor. In diesem Fall sagt man auch x = 1/2 ist eine zweifache Lösung der Polynomgleichung.

4b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichung.
04b
  Ausführliche Lösung
  Zuerst wird die Polynomgleichung auf die Normalform gebracht. Durch einsetzen in das Horner-Schema erhält man die Lösung x = 1.
  04b_l

5a Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichungen für die jeweils eine Lösung bekannt ist. Führen Sie dazu die Polynomdivision durch.
05a
  Ausführliche Lösung
  05a_l

5b Berechnen Sie die Lösungen folgender Gleichungen für die jeweils eine Lösung bekannt ist. Führen Sie dazu die Polynomdivision durch.
05b
  Ausführliche Lösung
  05b_l

6a Führen Sie die Polynomdivision durch.
06a
  Ausführliche Lösung
  06a_l
  Falls im zu teilenden Polynom ein Summand fehlt, sollte man diesen durch die entsprechende Potenz mit dem Koeffizienten 0 ersetzen (hier 0x2 ). Das vereinfacht die Rechnung.

6b Führen Sie die Polynomdivision durch.
06b
  Ausführliche Lösung
  06b_l
  Diese Aufgabe zeigt, wie wichtig es ist die auftretenden Summanden sauber untereinander zu schreiben.

7 Zerlegen Sie in Linearfaktoren.
07
  Ausführliche Lösung
  Eine Polynomgleichung 3. Grades mit den Lösungen x1 ; x2 und x3 lässt sich auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben.
( x - x1 )( x - x2 )( x - x3 ) = 0. Das gilt in entsprechender Weise für alle Polynomgleichungen beliebigen Grades, falls deren Lösungen bekannt sind. Durch einsetzen in das Horner-Schema erhält man die Lösung x = 1.
  07_l

8 Zeigen Sie: x = 1 ist doppelte Lösung von x3 -3x + 2
  Ausführliche Lösung
  Falls x = 1 doppelte Lösung von x3 -3x + 2 ist, muss gelten:
( x - 1 )( x - 1 )( ... ) = ( x - 1 )2 ( ... ) = ( x2 - 2x +1 )( ... ) = x3 -3x + 2.
Das bedeutet die Polynomdivision (x3 -3x + 2 ):( x2 - 2x +1 ) muss ohne Rest aufgehen. Das Ergebnis liefert sogar eine weitere Lösung.
  08_l
Da die Polynomdivision ohne Rest aufgeht gilt:
( x2 - 2x +1 ) = ( x - 1 )( x - 1 )( x + 2 ) = 0.
Damit wurde gezeigt, das x = 1 eine doppelte Lösung ist.

9 Zeigen Sie, dass die Gleichung x3 + kx2 - k2x - k3 =0
nur die Lösungen x1 = k und x2 = -k besitzt.
  Ausführliche Lösung
  Es ist eine Polynomdivision mit dem Produkt ( x - k )( x + k ) = x2 - k2 durchzuführen.
Das Ergebnis muss entweder ( x - k ) oder ( x + k ) lauten.
  09_l
Damit gilt:
x3 + kx2 - k2x - k3 = ( x - k )( x + k )( x + k ) = 0

10 Gegeben ist die Gleichung x3 + (k + 1)x2 - (2k2 - k)x - 2k2 = 0.
Zeigen Sie, das x1 = k eine Lösung der Gleichung ist und berechnen Sie alle weiteren Lösungen.
  Ausführliche Lösung
  10_l

11 Gegeben ist die Gleichung x3 + (k - 1)x2 - (k + 2)x - 2k = 0.
Zeigen Sie, das x1 = -1 eine Lösung der Gleichung ist und berechnen Sie alle weiteren Lösungen.
  Ausführliche Lösung
  11_l

12 Gegeben ist die Gleichung x3 - 4x2 + (k + 4)x - 2k = 0.
Zeigen Sie, das x1 = 2 eine Lösung der Gleichung ist. Für welche Werte von k gibt es genau eine weitere doppelte Lösung? Stellen Sie das Ergebnis als Produkt von Linearfaktoren dar.
  Ausführliche Lösung
  12_l