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Mathematischer
Hintergrund
Polynomgleichungen I
Ergebnisse und ausführliche Lösungen





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Nr. 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  b) 01b_e
  c) 01c_e
  Ausführliche Lösungen

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e
  b) 02b_e
  c) 02c_e
  Ausführliche Lösungen

3. Ergebnisse:
  a) 03a_e
  b) 03b_e
  c) 03c_e
  Ausführliche Lösungen

4. Ergebnis:
  Für k = 0 gibt es unendlich viele Lösungen. Sonst ist x = 2.
  Ausführliche Lösung

5. Ergebnis:
  05_e
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnis:
  06_e
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnisse:
  a) 07a_e
  b) 07b_e
  c) 07c_e
  Ausführliche Lösungen

8. Ergebnisse:
  a) 08a_e
  b) 08b_e
  c) 08c_e
  Ausführliche Lösungen

9. Ergebnisse:
  a) 09a_e
  b) 09b_e
  c) 09c_e
  Ausführliche Lösungen

10. Ergebnis:
  Falls a < 0 ist, existiert nur eine Lösung: x = 0.
Falls a > 0 ist , existieren 3 Lösungen.
Falls a = 0 ist, existiert nur eine Lösung: x = 0.
  Ausführliche Lösung

11. Ergebnis:
  Falls a < -1/4 ist, existiert nur eine Lösung: L = { 0 }.
Falls a = -1/4 ist, existieren zwei Lösungen: L = { 0; 0,5 }
Falls a = 0 ist, existieren zwei Lösungen L = { 0 ; 0,5 }.
Falls a > -1/4 ist, existieren drei Lösungen (siehe ausführliche Lösung).
  Ausführliche Lösung

12. Ergebnis:
  12_e
  Ausführliche Lösung

1a Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
01a
  Ausführliche Lösung
  01a_l
  Es sei n >1 eine natürliche Zahl. Ist a eine nichtnegative reelle Zahl, so besitzt die Gleichung xn = a genau eine nichtnegative Lösung. Diese wird als n-te Wurzel aus a bezeichnet. Bei der Probe geht man erst mal davon aus, dass die Gleichung stimmt. Führt die Rechnung auf keinen Widerspruch, so ist der eingesetzte Lösungswert richtig.
q. e. d. steht für: quod erat demonstrandum, lateinisch für: was zu beweisen war.

1b Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
01b
  Ausführliche Lösung
  01b_l
  Die Multiplikation einer Gleichung mit dem Kehrwert eines Bruches ist äquivalent zur Division durch diesen Bruch. Die Multiplikation mit dem Kehrwert ist oft einfacher durchzuführen.

1c Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
01c
  Ausführliche Lösung
  01c_l
  Wenn auf beiden Seiten einer Gleichung, die nur aus Summanden besteht, gleiche Summanden auftreten, kann man diese einfach streichen.

2a Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
02a
  Ausführliche Lösung
  02a_l

2b Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
02b
  Ausführliche Lösung
  02b_l

2c Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
02c
  Ausführliche Lösung
  02c_l

3a Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
03a
  Ausführliche Lösung
  03a_l
  Die Vorgabe von k > 0 verhindert, das der Nenner des Bruches unter der Wurzel 0 wird. Eine Division durch 0 ist nicht erlaubt.

3b Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
03b
  Ausführliche Lösung
  03b_l

3c Lösen Sie die Gleichungen nach x auf und machen Sie die Probe.
03c
  Ausführliche Lösung
  03c_l

4 Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
04
Gibt es für jede Wahl von k eine Lösung? Begründen Sie Ihre Aussage.
  Ausführliche Lösung
  04_l
  Die Lösung x = 2 gilt nur für den Fall, dass k ungleich Null ist. Denn durch Null darf man nicht teilen. Setzt man hingegen für k den Wert 0 in die Ausgangsgleichung ein, dann ist die Lösung für alle x-Werte Null. Man sagt auch, die Gleichung hat für k = 0 unendlich viele Lösungen.

5 Bestimmte Bakterien verdreifachen ihre Zahl innerhalb von 4 Stunden.
Wie groß ist die prozentuale Vermehrung in einer Stunde?
  Ausführliche Lösung
  Vorbemerkung:
Die Wachstumsfunktion für exponentielles Wachstum lautet:
05_1_l
Dabei ist:
N0 der Anfangswert
t die Zeit (Sekunden, Minuten, Stunden ...)
q die Änderungsrate
Eine Wachstumsfunktion beschreibt, wie sich der Bestand einer Menge (z.B. Bakterien, Zinsen, Bevölkerung) im Laufe der Zeit verändert.
Exponentiell bedeutet, dass die Veränderung pro Zeiteinheit nicht konstant ist, sondern prozentual zum vorherigen Wert des Bestandes.
Die Änderungsrate q enthält also die prozentuale Vermehrung.
Ist q > 1, so spricht man von einem Wachstum.
Ist q < 1, so spricht man von einer Abnahme.
Für die gestellte Aufgabe bedeutet das:
  05_2_l
Die Änderungsrate beträgt etwa q = 1,32.
Das bedeutet, dass die prozentuale Vermehrung der Bakterien pro Stunde etwa 32% beträgt.

6 Zu Beginn eines Jahres wird der Zeitwert eines Autos neu festgelegt.
Für einen 5 Jahre alten Gebrauchtwagen bietet ein Händler 8500 €.
Wie hoch war der jährliche Wertverlust (in Prozent vom Zeitwert), wenn man davon ausgeht, dass dieser in den ersten 5 Jahren gleich hoch ist?
  Ausführliche Lösung
  Vorbemerkung:
Es handelt sich bei dem jährlichen Wertverlust um eine Abnahme.
Für die Aufgabe bedeutet das:
W5 = W0q5 wobei q die jährliche Änderungsrate ist.
Wenn diese z.B. q = 0,8 betragen würde, dann wäre das Auto nach einem Jahr nur noch 80% vom Neupreis wert.
Der Wertverlust wäre dann 100% - 80% = 20%.
  06_l
Der Wertverlust pro Jahr beträgt etwa 17%.

7a Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
07a
  Ausführliche Lösung
  07a_l
  Aus der Linken Seite der Gleichung kann x ausgeklammert werden. Es entsteht ein Produkt. Da dieses aber Null ist, kann der Satz vom Nullprodukt angewendet werden, der da lautet:
"Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist."
Die Lösung der Gleichung findet man also dadurch, dass man jeden Faktor für sich gleich Null setzt.

7b Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
07b
  Ausführliche Lösung
  07b_l
  Lösung nach dem Satz vom Nullprodukt.

7c Lösen Sie die Gleichungen nach x auf.
07c
  Ausführliche Lösung
  07c_l
  Der zweite Faktor vom Nullprodukt ist eine quadratische Gleichung. Diese lässt sich z.B. mit der p-q-Formel lösen.

8a Lösen Sie die Gleichung.
08a
  Ausführliche Lösung
  08a_l
  Lösung nach dem Satz vom Nullprodukt.

8b Lösen Sie die Gleichung.
08b
  Ausführliche Lösung
  08b_l

8c Lösen Sie die Gleichung.
08c
  Ausführliche Lösung
  08c_l

9a Lösen Sie die Gleichung.
09a
  Ausführliche Lösung
  09a_l

9b Lösen Sie die Gleichung.
09b
  Ausführliche Lösung
  09b_l

9c Lösen Sie die Gleichung.
09c
  Ausführliche Lösung
  09c_l

10 Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von a
10
  Ausführliche Lösung
  10_1_l
  Falls a > 0 ist, gibt es 3 Lösungen:
10_2_l
Falls a = 0 ist, gibt es nur eine Lösung: L = { 0 }.
Falls a < 0 ist, gibt es nur eine Lösung: L = { 0 }, da die Wurzel nicht lösbar ist.

11 Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen in Abhängigkeit von c
11
  Ausführliche Lösung
  11_l
  Die Lösung x1 = 0 existiert für jeden Wert von c.
Falls c = -1/4 existieren zwei Lösungen.
Falls c > -1/4 existieren drei Lösungen.
Falls c < -1/4 existiert nur die Lösung x1 = 0.

12 Welcher Zusammenhang besteht zwischen b und c, wenn folgende Gleichung genau zwei Lösungen hat?
12
  Ausführliche Lösung
  12_1_l
Genau zwei Lösungen bedeutet, dass die quadratische Gleichung x2 + bx + c = 0 nur eine Lösung haben darf.
Das ist aber nur dann der Fall, wenn die Diskriminante D = 0 ist.
12_2_l
  b2 =4c ist der Zusammenhang zwischen b und c falls die Gleichung genau zwei Lösungen hat.