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Mathematischer
Hintergrund
Exponentialgleichungen IV
Ergebnisse und ausführliche Lösungen




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Nr. 01 02 03 04 05 06 07

  Wie gehe ich vor?
Wenn es gelingt, die Terme auf beiden Seiten der Exponentialgleichung so umzuformen, dass sich Potenzen mit gleichen Basen ergeben, dann ist eine Lösung mittels Exponentialvergleich möglich.
In vielen Fällen führt der Ansatz über das Logarithmieren zum Erfolg.
Exponentialgleichungen, in denen Summen oder Differenzen vorkommen, können nicht logarithmiert werden. Man kann versuchen, sie mittels Substitution (Einsetzung einer Ersatzvariablen) zu lösen.

1. Ergebnisse:
  a) 01a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 01b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 01c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 01d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 01e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 01f_e
  Ausführliche Lösung
  g) 01g_e
  Ausführliche Lösung
  h) 01h_e
  Ausführliche Lösung
  i) 01i_e
  Ausführliche Lösung

2. Ergebnisse:
  a) 02a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 02b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 02c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 02d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 02e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 02f_e
  Ausführliche Lösung

3. Ergebnisse:
  a) 03a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 03b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 03c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 03d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 03e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 03f_e
  Ausführliche Lösung

4. Ergebnisse:
  a) 04a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 04b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 04c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 04d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 04e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 04f_e
  Ausführliche Lösung

5. Ergebnisse:
  a) 05a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 05b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 05c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 05d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 05e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 05f_e
  Ausführliche Lösung

6. Ergebnisse:
  a) 06a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 06b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 06c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 06d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 06e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 06f_e
  Ausführliche Lösung
  g) 06g_e
  Ausführliche Lösung
  h) 06h_e
  Ausführliche Lösung
  i) 06i_e
  Ausführliche Lösung

7. Ergebnisse:
  a) 07a_e
  Ausführliche Lösung
  b) 07b_e
  Ausführliche Lösung
  c) 07c_e
  Ausführliche Lösung
  d) 07d_e
  Ausführliche Lösung
  e) 07e_e
  Ausführliche Lösung
  f) 07f_e
  Ausführliche Lösung

1a) Lösen Sie die Gleichung   01a
  Ausführliche Lösung
  01a_l
Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1b) Lösen Sie die Gleichung   01b
  Ausführliche Lösung
  01b_l
Die Gleichung wird zunächst so umgeformt, dass auf beiden Seiten möglichst einfache Ausdrücke stehen. Dann wird unter Anwendung der bekannten Logarithmengesetze logarithmiert.

1c) Lösen Sie die Gleichung   01c
  Ausführliche Lösung
  01c_l

1d) Lösen Sie die Gleichung   01d
  Ausführliche Lösung
  01d_l

1e) Lösen Sie die Gleichung   01e
  Ausführliche Lösung
  01e_l

1f) Lösen Sie die Gleichung   01f
  Ausführliche Lösung
  01f_l

1g) Lösen Sie die Gleichung   01g
  Ausführliche Lösung
  01g_l

1h) Lösen Sie die Gleichung   01h
  Ausführliche Lösung
  01h_l

1i) Lösen Sie die Gleichung   01i
  Ausführliche Lösung
  01i_l

2a) Lösen Sie die Gleichung   02a
  Ausführliche Lösung
  02a_l: Lösung einer Exponentialgleichung durch logarithmieren

2b) Lösen Sie die Gleichung   02b
  Ausführliche Lösung
  02b_l
Tritt bei den Lösungsschritten ein Widerspruch auf, so hat die Gleichung keine Lösung.

2c) Lösen Sie die Gleichung   02c
  Ausführliche Lösung
  02c_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2d) Lösen Sie die Gleichung   02d
  Ausführliche Lösung
  02d_l
Nach dem Satz vom Nullprodukt muss x2 = 0 sein und damit auch x. Denn ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor Null ist. Da die e- Funktion für keinen x- Wert Null werden kann, muss also x2 Null sein.

2e) Lösen Sie die Gleichung   02e
  Ausführliche Lösung
  02e_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

2f) Lösen Sie die Gleichung   02f
  Ausführliche Lösung
  02f_l
Der Satz vom Nullprodukt wurde angewendet.

3a) Lösen Sie die Gleichung   03a
  Ausführliche Lösung
  03a_l: Lösung einer Exponentialgleichung durch Substitution

3b) Lösen Sie die Gleichung   03b
  Ausführliche Lösung
  03b_l
Die Multiplikation der Gleichung mit ex vereinfacht den Term. Für u2 gibt es keine Lösung, da u2 negativ und für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

3c) Lösen Sie die Gleichung   03c
  Ausführliche Lösung
  03c_l

3d) Lösen Sie die Gleichung   03d
  Ausführliche Lösung
  03d_l
Lösungsweg:
Das Quadrat des Klammerausdrucks wird als Produkt dargestellt. Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da beide Klammern identisch sind, ist das Ergebnis als doppelte Nullstelle zu werten.

3e) Lösen Sie die Gleichung   03e
  Ausführliche Lösung
  03e_l
Lösungsweg:
Zur Lösung der Aufgabe wird der Satz vom Nullprodukt angewendet. Nur der Klammerausdruck kann Null werden.

3f) Lösen Sie die Gleichung   03f
  Ausführliche Lösung
  03f_l
Die Gleichung hat keine Lösung. Der Wert der e- Funktion vor der Klammer ist für alle x größer Null. Der Klammerausdruck ist negativ, so dass auch das Produkt auf der linken Seite negativ ist. Das steht im Widerspruch zu dem Wert der rechten Seite, der positiv ist.

4a) Lösen Sie die Gleichung   04a
  Ausführliche Lösung
  04a_l

4b) Lösen Sie die Gleichung   04b
  Ausführliche Lösung
  04b_l

4c) Lösen Sie die Gleichung   04c
  Ausführliche Lösung
  04c_l

4d) Lösen Sie die Gleichung   04d
  Ausführliche Lösung
  04d_l
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

4e) Lösen Sie die Gleichung   04e
  Ausführliche Lösung
  04e_l

4f) Lösen Sie die Gleichung   04f
  Ausführliche Lösung
  04f_l

5a) Lösen Sie die Gleichung   05a
  Ausführliche Lösung
  05a_l

5b) Lösen Sie die Gleichung   05b
  Ausführliche Lösung
  05b_l
Der Logarithmus zu einer beliebigen Basis von 1 ist immer Null.

5c) Lösen Sie die Gleichung   05c
  Ausführliche Lösung
  05c_l

5d) Lösen Sie die Gleichung   05d
  Ausführliche Lösung
  05d_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet.

5e) Lösen Sie die Gleichung   05e
  Ausführliche Lösung
  05e_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Jede der beiden Klammern wird Null gesetzt. Es gibt zwei unterschiedliche Lösungen.

5f) Lösen Sie die Gleichung   05f
  Ausführliche Lösung
  05f_l

6a) Lösen Sie die Gleichung   06a
  Ausführliche Lösung
  06a_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da die e- Funktion für keinen x- Wert Null werden kann, muss also der Klammerausdruck Null sein.

6b) Lösen Sie die Gleichung   06b
  Ausführliche Lösung
  06b_l

6c) Lösen Sie die Gleichung   06c
  Ausführliche Lösung
  06c_l

6d) Lösen Sie die Gleichung   06d
  Ausführliche Lösung
  06d_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

6e) Lösen Sie die Gleichung   06e
  Ausführliche Lösung
  06e_l

6f) Lösen Sie die Gleichung   06f
  Ausführliche Lösung
  06f_l

6g) Lösen Sie die Gleichung   06g
  Ausführliche Lösung
  06g_l

6h) Lösen Sie die Gleichung   06h
  Ausführliche Lösung
  06h_l
Der Satz vom Nullprodukt wird angewendet. Da entsprechend der Vorgabe k ungleich Null ist, kann nur der Klammerausdruck Null werden.

6i) Lösen Sie die Gleichung   06i
  Ausführliche Lösung
  06i_l

7a) Lösen Sie die Gleichung   07a
  Ausführliche Lösung
  07a_l

7b) Lösen Sie die Gleichung   07b
  Ausführliche Lösung
  07b_l

7c) Lösen Sie die Gleichung   07c
  Ausführliche Lösung
  07c_l

7d) Lösen Sie die Gleichung   07d
  Ausführliche Lösung
  07d_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7e) Lösen Sie die Gleichung   07e
  Ausführliche Lösung
  07e_l
Für u2 gibt es keine Lösung, weil für negative Zahlen kein Logarithmus definiert ist.

7f) Lösen Sie die Gleichung   07f
  Ausführliche Lösung
  07f_l